Measurements of Central Tendency: Problem Solving

 

কেন্দ্রীয় প্রবণতার পরিমাপ - গাণিতিক সমাধান (Grouped Data)

সমস্যা: ৩০ জন রোগীর রক্তের গ্লুকোজের মাত্রা (mg/dL) নিচে দেওয়া হলো। এর গড়, মধ্যমা ও প্রচুরক নির্ণয় করো।

 

গ্লুকোজের মাত্রা (শ্রেণী)	রোগীর সংখ্যা (গণসংখ্যা - f)
৭০ - ৮০	৪
৮০ - ৯০	৮
৯০ - ১০০	১০
১০০ - ১১০	৬
১১০ - ১২০	২
মোট	N = ৩০

---

১. গাণিতিক গড় (Mean) নির্ণয়

গড় নির্ণয়ের জন্য আমাদের শ্রেণীর মধ্যবিন্দু ($x$) এবং $fx$ এর মান বের করতে হবে।

শ্রেণী	f	মধ্যবিন্দু (x)	fx
৭০ - ৮০	৪	৭৫	৩০০
৮০ - ৯০	৮	৮৫	৬৮০
৯০ - ১০০	১০	৯৫	৯৫০
১০০ - ১১০	৬	১০৫	৬৩০
১১০ - ১২০	২	১১৫	২৩০
মোট	N=৩০		$\sum fx = ২৭৯০$

সূত্র:

$$\bar{X} = \frac{\sum fx}{N} = \frac{2790}{30} = 93 \text{ mg/dL}$$

---

২. মধ্যমা (Median) নির্ণয়

মধ্যমা নির্ণয়ের জন্য ক্রমযোজিত গণসংখ্যা (Cumulative Frequency) প্রয়োজন।

শ্রেণী	f	ক্রমযোজিত গণসংখ্যা (cf)
৭০ - ৮০	৪	৪
৮০ - ৯০	৮	১২
৯০ - ১০০	১০	২২ (মধ্যমা শ্রেণী)
১০০ - ১১০	৬	২৮
১১০ - ১২০	২	৩০

সূত্র:

$$\text{Median} = L + \left( \frac{\frac{N}{2} - F}{f_m} \right) \times c$$

এখানে,

• $\frac{N}{2} = \frac{30}{2} = 15$ (যা ২২ এর ভেতরে অবস্থিত, তাই মধ্যমা শ্রেণী হলো ৯০-১০০)।

• $L$ (নিম্নসীমা) = ৯০

• $F$ (পূর্ববর্তী $cf$) = ১২

• $f_m$ (মধ্যমা শ্রেণীর $f$) = ১০

• $c$ (শ্রেণী ব্যবধান) = ১০

 

ক্যালকুলেশন:

$$\text{Median} = 90 + \left( \frac{15 - 12}{10} \right) \times 10 = 90 + 3 = 93 \text{ mg/dL}$$

---

৩. প্রচুরক (Mode) নির্ণয়

সবচেয়ে বেশি গণসংখ্যা আছে '৯০ - ১০০' শ্রেণীতে (১০ বার)। তাই এটিই প্রচুরক শ্রেণী।

সূত্র:

$$\text{Mode} = L + \left( \frac{f_1 - f_0}{(f_1 - f_0) + (f_1 - f_2)} \right) \times c$$

এখানে,

• $L$ = ৯০

• $f_1$ (প্রচুরক শ্রেণীর $f$) = ১০

• $f_0$ (আগের শ্রেণীর $f$) = ৮

• $f_2$ (পরের শ্রেণীর $f$) = ৬

• $c$ = ১০

 ক্যালকুলেশন:

$$\text{Mode} = 90 + \left( \frac{10 - 8}{(10 - 8) + (10 - 6)} \right) \times 10 = 90 + \left( \frac{2}{2 + 4} \right) \times 10 = 90 + 3.33 = 93.33 \text{ mg/dL}$$

---

বিশ্লেষণ (Analysis):

যেহেতু এই উপাত্তে Mean (৯৩), Median (৯৩) এবং Mode (৯৩.৩৩) প্রায় সমান, তাই আমরা বলতে পারি এই উপাত্তটি একটি Symmetrical Distribution বা স্বাভাবিক বিন্যাসের কাছাকাছি।

রেফারেন্স: * Zar, J. H. (2010). Biostatistical Analysis.

• Mahajan, B. K. (2010). Methods in Biostatistics.