Z-test এবং এর সার্থকতা (Z-test and its Significance)

---

গাণিতিক উদাহরণ: মাছের গড় ওজন যাচাই (Z-test)

সমস্যা:

ধরা যাক, বাংলাদেশের একটি নির্দিষ্ট অঞ্চলের পাঙ্গাশ মাছের গড় ওজন ১.৫ কেজি এবং আদর্শ বিচ্যুতি (Standard Deviation) ০.২০ কেজি। একজন গবেষক ওই অঞ্চলের একটি খামার থেকে ১০০টি পাঙ্গাশ মাছের নমুনা সংগ্রহ করে দেখলেন যে তাদের গড় ওজন ১.৫৬ কেজি। ৫% সার্থকতা স্তরে (Significance Level) পরীক্ষা করে দেখো যে, ওই খামারের মাছের ওজন কি সাধারণ গড় ওজনের চেয়ে উল্লেখযোগ্যভাবে বেশি?

সমাধান:

### ধাপ ১: নাস্তিক কল্পনা \(H_0\) এবং বিকল্প কল্পনা \(H_a\)
\[H_0: \mu = 1.5\] 
(খামারের মাছের গড় ওজন সাধারণ ওজনের সমান)

\[H_a: \mu > 1.5\] 
(খামারের মাছের গড় ওজন সাধারণ ওজনের চেয়ে বেশি)

### ধাপ ২: প্রয়োজনীয় উপাত্তসমূহ
* পপুলেশন গড় \(\mu\) = ১.৫ কেজি
* স্যাম্পল গড় \[\bar{X}\] = ১.৫৬ কেজি

ধাপ ৩: Z-মান গণনা

আমরা জানি,

$$Z = \frac{\bar{X} - \mu}{\sigma / \sqrt{n}}$$

মান বসিয়ে পাই:

$$Z = \frac{1.56 - 1.5}{0.20 / \sqrt{100}}$$

$$Z = \frac{0.06}{0.20 / 10} = \frac{0.06}{0.02} = 3.0$$

ধাপ ৪: সিদ্ধান্ত গ্রহণ

৫% সার্থকতা স্তরে একমুখী পরীক্ষার (One-tailed test) জন্য Z-এর টেবিল মান হলো ১.৬৪৫। আমাদের গণনাকৃত মান $(Z = 3.0)$ টেবিল মান $(1.645)$ অপেক্ষা বড়। যেহেতু

$$3.0 > 1.645$$

তাই আমরা নাস্তিক কল্পনা $(H_0)$ বর্জন করি এবং বিকল্প কল্পনা $(H_a)$ গ্রহণ করি।

ধাপ ৫: মন্তব্য

৫% সার্থকতা স্তরে বলা যায় যে, ওই খামারের পাঙ্গাশ মাছের গড় ওজন সাধারণ গড় ওজনের চেয়ে উল্লেখযোগ্যভাবে বেশি। অর্থাৎ খামারের উন্নত ব্যবস্থাপনা বা খাবারের কারণে মাছের ওজন বৃদ্ধি পেয়েছে।

---