Student's t-test

---

লেকচার শিরোনাম: স্টুডেন্ট টি-ডিস্ট্রিবিউশন (Student's t-test)

বিষয়বস্তু: একক গড় এবং দুটি গড়ের পার্থক্যের যাচাই (t-test)

উইলিয়াম সিলি গোসেট ১৯০৮ সালে এই পদ্ধতিটি উদ্ভাবন করেন। যখন নমুনার সংখ্যা ছোট হয় \((n < 30)\) এবং পপুলেশন স্ট্যান্ডার্ড ডেভিয়েশন জানা থাকে না, তখন গাণিতিক গড়ের সার্থকতা যাচাইয়ের জন্য এই টেস্টটি ব্যবহার করা হয়। জীববিজ্ঞানের গবেষণায় যেখানে নমুনার সংখ্যা সীমিত থাকে, সেখানে t-test অপরিহার্য।

১. t-test ব্যবহারের শর্তাবলী (Assumptions)

নমুনার সংখ্যা (n): অবশ্যই ৩০-এর কম হতে হবে নমুনার সংখ্যা \( (n < 30) \)

• বন্টন: উপাত্তগুলো অবশ্যই নরমাল ডিস্ট্রিবিউশন মেনে চলতে হবে।
• স্বাধীন নমুনা: দুটি গ্রুপের উপাত্ত একে অপরের ওপর নির্ভরশীল হবে না।

২. t-test এর প্রকারভেদ

• One-sample t-test: একটি নমুনার গড়কে কোনো নির্দিষ্ট পপুলেশন গড়ের সাথে তুলনা করতে
• Independent Two-sample t-test: দুটি আলাদা গ্রুপের (যেমন- দুই জাতের ধান) গড়ের তুলনা করতে।

---

গাণিতিক উদাহরণ: দুই জাতের ধানের ফলনের তুলনা (Independent t-test)

সমস্যা:

একটি কৃষি গবেষণাগারে 'জাত-ক' এবং 'জাত-খ' নামক দুটি ধানের ফলন (মন/একর) পরীক্ষা করা হলো। নিচে ৫টি প্লটের ফলন দেওয়া হলো। ৫% সার্থকতা স্তরে যাচাই করো যে, দুই জাতের ধানের ফলনের মধ্যে কি কোনো উল্লেখযোগ্য পার্থক্য আছে?

• জাত-ক \( (X_1) \): ২০, ২২, ১৯, ২১, ২৩

•  জাত-খ \( (X_2) \): ১৮, ২০, ২১, ১৯, ১৭ 

সমাধান:

ধাপ ১: কল্পনা গ্রহণ (Hypothesis Setting) 

 নাস্তিক কল্পনা \( (H_0) \):

 \[ \mu_1 = \mu_2 \] 

(দুই জাতের ধানের ফলন সমান)। 

বিকল্প কল্পনা \( (H_a) \): 

\[ \mu_1 \neq \mu_2 \] 

(দুই জাতের ধানের ফলন সমান নয়)।

ধাপ ২: প্রয়োজনীয় গণনা

জাত-ক (X1​)	(X1​−X1​ˉ​)2	জাত-খ (X2​)	(X2​−X2​ˉ​)2
২০	১	১৮	১
২২	১	২০	১
১৯	৪	২১	৪
২১	০	১৯	০
২৩	৪	১৭	৪
$$ \sum X_1 = ১০৫ $$	$$ \sum d_1^2 = ১০ $$	$$ \sum X_2 = ৯৫ $$	$$ \sum d_2^2 = ১০ $$

ধাপঃ৩ 

গড়-১ \(\bar{X_1}\) = \[ 105 / 5 = 21 \]

গড়-২ \(\bar{X_2}\) = \[ 95 / 5 = 19 \]

 ধাপ ৩: t-মান গণনা

সূত্র:

$$ t = \frac{\bar{X_1} - \bar{X_2}}{\sqrt{\frac{s_p^2}{n_1} + \frac{s_p^2}{n_2}}} $$

(যেখানে

$$ s_p^2 $$

হলো Pooled Variance)

$$ s_p^2 = \frac{\sum d_1^2 + \sum d_2^2}{n_1 + n_2 - 2} = \frac{10 + 10}{5 + 5 - 2} = \frac{20}{8} = 2.5 $$

এখন সূত্রে মান বসিয়ে:

$$ t = \frac{21 - 19}{\sqrt{\frac{2.5}{5} + \frac{2.5}{5}}} = \frac{2}{\sqrt{0.5 + 0.5}} = \frac{2}{1} = 2.0 $$

ধাপ ৪: সার্থকতা যাচাই

স্বাধীনতার মাত্রা (Degrees of Freedom,
$$ df $$):$$ n_1 + n_2 - 2 = 5 + 5 - 2 = 8 $$
৫% সার্থকতা স্তরে এবং $$ df=8 $$ এর জন্য t-এর টেবিল মান (Two-tailed): ২.৩০৬।

 ধাপ ৫: সিদ্ধান্ত

যেহেতু আমাদের গণনাকৃত মান \[ 2.0 \] টেবিল মান \[ 2.306 \] এর চেয়ে ছোট, তাই আমরা নাস্তিক কল্পনা       \(H_0\) বর্জন করতে পারি না।

মন্তব্য: ৫% সার্থকতা স্তরে বলা যায় যে, 'জাত-ক' এবং 'জাত-খ' ধানের ফলনের মধ্যে কোনো উল্লেখযোগ্য পার্থক্য নেই।

---

বিশেষ নোট:

Degrees of Freedom (df): পাঠকদের বুঝিয়ে দেবেন যে t-test এ  $$ df $$ কেন গুরুত্বপূর্ণ, 

• কারণ টেবিল মান দেখার জন্য এটি প্রয়োজন।
• Interpretation: শেষে সহজ ভাষায় মন্তব্য লিখলে শিক্ষার্থীরা বিষয়টি দ্রুত বুঝবে।