Correlation and Regression (সহসম্বন্ধ ও নির্ভরক বিশ্লেষণ)

 

সহসম্বন্ধ ও নির্ভরক বিশ্লেষণ (Correlation and Regression)

১. সহসম্বন্ধ (Correlation)

দুটি চলকের মধ্যে পারস্পরিক সম্পর্কের মাত্রা এবং প্রকৃতিকে সহসম্বন্ধ বলে। একে সাধারণত\(r\) দ্বারা প্রকাশ করা হয়।

• ধনাত্মক সহসম্বন্ধ: একটি চলক বাড়লে অন্যটিও বাড়ে (যেমন: উদ্ভিদের উচ্চতা বাড়লে পাতাও বাড়ে)।
• ঋণাত্মক সহসম্বন্ধ: একটি বাড়লে অন্যটি কমে (যেমন: জনসংখ্যা বাড়লে মাথাপিছু খাদ্য কমে)।
• শূন্য সহসম্বন্ধ: চলক দুটির মধ্যে কোনো সম্পর্ক নেই।

সহসম্বন্ধ গুণাঙ্ক \(r\) এর বৈশিষ্ট্য:

• এর মান সর্বদাই \(-1\) থেকে \(+1\) এর মধ্যে থাকে। 
• \(r = +1\) হলে পূর্ণ ধনাত্মক এবং \(r = -1\) হলে পূর্ণ ঋণাত্মক সম্পর্ক বোঝায়।

---

২. বিক্ষেপ চিত্র (Scatter Diagram)

উপাত্তগুলোকে যখন গ্রাফ পেপারে ছক কাগজের মতো বিন্দু দিয়ে বসানো হয়, তখন তাকে Scatter Diagram বলে। এটি দেখে খুব সহজেই সম্পর্কের ধরণ বোঝা যায়।

---

৩. নির্ভরক বিশ্লেষণ (Linear Regression)

নির্ভরক হলো এমন একটি গাণিতিক পদ্ধতি যার মাধ্যমে একটি স্বাধীন চলকের (\(X\)) ওপর ভিত্তি করে একটি নির্ভরশীল চলকের (\(Y\))মান আগে থেকেই অনুমান করা যায়।

নির্ভরক সমীকরণ:

\[Y = a + bX\] 

 **যেখানে:** 

* \(Y\) = নির্ভরশীল চলক  (Dependent variable) 

* \(X\) = স্বাধীন চলক (Independent variable) 

* \(a\) = ইন্টারসেপ্ট বা ধ্রুবক (Intercept) 

* \(b\) = নির্ভরক গুণাঙ্ক বা ঢাল (Regression Coefficient/Slope) 

---

গাণিতিক উদাহরণ: উচ্চতা ও ওজনের সম্পর্ক

সমস্যা:

৫ জন শিক্ষার্থীর উচ্চতা \(X\) এবং ওজন \(Y\) নিচে দেওয়া হলো। তাদের মধ্যে সহসম্বন্ধ \(r\) ) নির্ণয় করো।

উচ্চতা (X সেমি)	ওজন (Y কেজি)	X2	Y2	XY
১৫০	৫০	২২৫০০	২৫০০	৭৫০০
১৬০	৬০	২৫৬০০	৩৬০০	৯৬০০
১৭০	৭০	২৮৯০০	৪৯০০	১১৯০০
১৮০	৮০	৩২৪০০	৬৪০০	১৪৪০০
১৯০	৯০	৩৬১০০	৮১০০	১৭১০০
$\sum X = ৮৫০$	$\sum Y = ৩৫০$	$\sum X^2 = ১৪৫৫০০$	$\sum Y^2 = ২৫৫০০$	$\sum XY = ৬০৫০০$

সূত্র:

$$r = \frac{n(\sum XY) - (\sum X)(\sum Y)}{\sqrt{[n\sum X^2 - (\sum X)^2][n\sum Y^2 - (\sum Y)^2]}}$$

(এখানে মানগুলো বসালে আপনি দেখতে পাবেন $r = 1$, অর্থাৎ উচ্চতা ও ওজনের মধ্যে পূর্ণ ধনাত্মক সম্পর্ক বিদ্যমান।)

---

৪. রিগ্রেশন এবং কোরিলেশনের মধ্যে পার্থক্য

১. কোরিলেশন শুধু সম্পর্কের মাত্রা জানায়, কিন্তু রিগ্রেশন একটি চলকের সাপেক্ষে অন্যটির মান নির্ণয় করে।

২. কোরিলেশনে $X$ ও $Y$ কে অদলবদল করলেও মান এক থাকে, কিন্তু রিগ্রেশনে স্বাধীন ও নির্ভরশীল চলক নির্দিষ্ট থাকে।